数学公理思维，图形抽象范式---定义、假设和公理

网友们一直都想了解一些关于图形抽象范式---定义、假设和公理和数学公理思维的话题，那么本文接下来带你走进图形抽象范式---定义、假设和公理的案。

欧几里得

欧几里得的《原理》最初包含23个定义，它们按顺序描述了平面几何研究的基本对象点、线、平面、角、多边形、三角形和平行线。事实上，在长期的日常生活和生产中，人们能够发明这些术语并用这些术语进行交流，这说明人们已经知道这些术语的含义。然而，对这些术语给出精确的定义是非常困难的，这不仅需要理解其含义的本质，还需要高度抽象的概括。回想一下，才华横溢的柏拉图对于如何解释这些基本概念感到困惑。现在，如果我们分析欧几里得提出的定义，点、线、面的定义如下。

1点没有零件。

2线只有长度而没有宽度。

三边只有长和宽。

此外，他还定义了直线和平面。

4直线是其上的点平放的线。

7平面是直线平放在其上的表面。

关于角度，直角和直角的定义如下

8平面角是在非直平面内相交的两条直线的相互斜率。

9当两条包含角的直线都是直线时，该角称为直角。

10当一条直线和另一条直线形成的角相同时，每个角称为直角，并且一条直线垂直于另一条直线。

还有另一个定义值得一提，这是平行线的第23个也是最后一个定义。

23平行线是同一平面上向两个方向无限延伸且在任一方向都不相交的直线。

欧几里得的定义是幼稚的，这至少表现在两个方面首先，该定义使用了长度和宽度等未定义的术语；其次，该定义使用了“无部分”，即“只有长度而没有”。“宽度”、“平放”等令人费解的描述。但即使在2000多年后的今天，科学技术日新月异，我们还能想出比欧几里得更好的定义吗？如果我们先定义长度，它会是“两点之间的距离”。甚至包括“两点之间最短的直线段”之类的命题。这会导致一个恶性循环定义在数学中不被接受，就像现在许多词典所做的那样。另一方面，这个世界上没有任何东西是“没有部分”的，但数学的抽象与具体是分开的，这意味着现实生活中的“不存在”只是合理的，甚至是必然的。现在题的关键是图形的具体定义。我们如何将它与内容分开？欧几里得对图形的简单定义不是一个很好的尝试吗？

虽然欧几里得的定义使数学向科学迈出了强有力的一步，但它也使我们陷入了尴尬的境地。我们无法给出一个令人满意的定义，这使得数学成为一个良好的开端。无论如何，数学作为一门科学始于欧几里得。正如《数量和数量关系的抽象》中所述，数学知识的最终建立通常需要两个抽象步骤抽象的第一步通常是创建一个新方法，抽象的第二步通常是创建一个更好的方法。如果我描述这些方法，这是否也适用于图和图关系的抽象？让我们一步步讨论这个题。

欧几里得更重要的任务是提供亚里士多德所希望的公理和公设。在《原理》中，欧几里得提出了五个公理和五个公设。这五个公理是

1、同数量和同数量是相等的。

2等量加等量，总计相等。

3减去相同的量，差值相同

4可以相互重叠的对象是全等的

5整体大于部分

这五个公理超越了数学，符合人们的生活经验和常识思维，完全符合亚里士多德的公理要求，特别是这五个公理的表达简洁而优雅，体现了数学的美感。但第四条存在使用“巧合”等含义不明确的用语的隐患。实际上，要实现形状的重合，就必须伴随形状的运动，但欧几里得想要的运动是一种什么样的运动呢？该运动必须满足哪些属性？在下面的《图的量化》中，我们会沿着欧几里得的思路来详细讨论这个题，但这里我们不应该向欧几里得求分。我们必须承认，那些优美的五公理为数学的发展奠定了极好的基础。欧几里得原理的五个公理如下

1、从任意一点到任意一点都可以画直线。

2有限直线可以连续延长

3.您可以以任意点为圆心并使用任意距离绘制圆。

4所有直角都相等

5.一条直线与同一平面内的另外两条直线相交。如果一条边的两个内角之和小于两个直角，则两条直线无限延伸，然后相交于这条边。

这五个公理是与所研究的图形相关的假设，是基于人们的经验，因此也符合亚里士多德的要求。然而，这五个公理的解释却远不如五个公理那么优雅。前三个公理本质上是关于绘图的假设，后来成为人们确定什么是“绘图规则和指南针”的基础。我们将在下一讲《几何》《图与相关数学发展》中具体讨论这个题。第四条公理不是必需的，因为从定义9我们可以定义并验证圆的角度是两个直角。当使用360度解释时，第五公设的解释是最复杂的，人们可能会经历欧几里得的犹豫，因为根据定义9和23，第五公理的简明等价命题很容易提出。

“如果一条直线与另外两条直线在同一平面内相交，且两边的两个内角之和为直角，则这两条直线平行。”

参照平行线的定义，上述等价命题的意思是，如果一侧的两个内角之和是一条直线，那么两条线永远不会相交。这一命题可能是欧几里得不想包含的命题。对“原理”的定义、公理和假设的仔细分析表明，欧几里得想在有限的空间内仔细地研究题。想象需要经验，在那个时代，人们能够体验和感知的空间相当有限，不可能想象出一条永远持续的直线。当时，人们已经知道地是圆的，但是他们能在地表面画出一条永远延伸的直线吗？尤其是，有两条直线永远延伸、永远平行，这是不可思议的。第五条公理的题太多，人们希望从第五条公理入手来“修复”欧几里得几何。这个任务主要完成两个方面要么找到一个更清晰的命题来代替这个公理，要么使用其他五个公理。该公理和证明它的四个公设取消了该公理。我们将在“平行线和相关数学进展”中详细讨论这些研究。事实上，几何学的进一步发展证明了欧几里得的犹豫是合理的。题太复杂了。

机械化战争是军队必须机械化、依靠机械化部队取胜的军事理论。也称为“坦克胜利理论”。J.P.C.第一次世界大战后1878年至1966年期间担任英国坦克军参谋长。J.P.C.富勒创立了这一理论。

他认为，军队机械化是坦克出现后必然的发展趋势，战争将成为纯粹的机械化活动。“战争的胜负99%取决于武器。”战场上的坦克获胜的机会微乎其微。

一、数学和物理的思维方式完全不一样？

它们并不是完全不同，都涉及逻辑思维，只是侧重点不同。

事实上，早期的物理学和数学并不是分开的。数学的基本逻辑假设了一些最基本的复杂认知和实践公理，并根据这些公理展开逻辑，有点类似于中国古代哲学的一生二二三。所以它以许多公理为基础，进行基本推论，这些推论可以与公理结合起来，得出进一步的推论，所有这些共同构成一个自洽的理论，互不矛盾，互不支持。这是数学的基础知识。这个沙系统中没有任何空间容纳任何东西。所以，有人会说数学是上帝干净纯粹的语言。

物理偏应用一点，因为它要解决一些更贴近人们生活和认知的实际题。例如，如何最有效地为汽车提供动力，如何以最大效率将电能转化为光能用于照明，如何使用可靠的语言描述世界上已知物体的运行情况，导弹在哪里爆炸等。预测方法等。ETC。它不是纯粹的数学，但它是基于数学的。正如牛顿发明微积分来解决行星运动题一样，它也彻底改变了数学和物理学。又如，为了解决描述空间和时间的牛顿力学的隐患，爱因斯坦借用黎曼几何提出了颠覆认知的相对论，从而使整个人类宇宙学得以发展。这一切都表明了数学和物理之间紧密的内在联系。相对论采用数学的思维方式，基于两个最基本的假设，得出一系列关于时空几何的结论，我们认为这已经涉及物理和数学思维。

二、数学中代数的思维和几何的思维？

数学中的代数思维和几何思维是数学中两种不同的思维方式，各自侧重不同的方面，但同时又相互联系、相互补充。

代数思维侧重于数量关系和符号运算。研究数字、字母和符号之间的模式，并使用运算、方程和公式来描述和解决现实世界的题。代数思维的关键是理解和应用基本代数概念，例如变量、函数、方程和不等式。在解决现实题时，代数思维需要找到题中的数量关系，建立代数模型，并通过运算和方程求解找到案。

几何思维侧重于空间中的形状和位置关系。研究点、线、面、角、三角形、正方形等图形的性质、变换和组合。几何思维的关键是理解和应用几何的基本概念，如点、线、面、角度和距离。在解决实际题时，几何思维需要观察和分析图形，并运用几何定理、公式和性质来解决题。

代数和几何思维在数学中密切相关。几何题通常可以通过代数方法来解决，例如使用毕达哥拉斯定理和相似三角形的性质。代数题还需要利用几何直觉来理解，例如，在解方程或寻找最优值时，可以通过观察图形来找到题的解。此外，在高等数学中，线性代数和空间分析几何等学科将代数和几何紧密结合起来，研究向量、矩阵、线性方程等概念以及空间几何的意义。

简单地说，代数思维和几何思维是相关的，尽管它们在数学上有不同的侧重点。掌握这两种思维方式可以帮助你更好地理解和解决数学题，提高你的数学技能。